Frullani 积分

引入

昨天做题的时候遇到一个问题：求拉普拉斯变换

$$\mathcal{L}{\left[\frac{e^{-t}-e^{-3t}}{t}\right]}$$

我们知道，$\dfrac{1}{t}$ 是不可积的，它不满足做 Laplace 变换的条件。那么这个变换如何进行呢？在群友的点拨下，我发现这个积分变换

$$\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-t}-e^{-3t}}{t} \cdot e^{-st}\mathrm{d}t$$

其实是 Frullani 积分：

$$\text{若}\lim_{x \to +\infty}f(x) = k, \, 则有 \int_{0}^{+\infty}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}\mathrm{d}x = \left[f(0)-k\right]\ln\frac{b}{a}$$

Frullani 积分

证明：

$$\begin{aligned} \int_{0}^{+\infty}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}\mathrm{d}x &= \lim_{\substack{m \to 0 \\ M \to +\infty}}\int_{m}^{M}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}\mathrm{d}x \\ &= \lim_{\substack{m \to 0 \\ M \to +\infty}}\int_{am}^{aM}\frac{f(t)}{t}\mathrm{d}t - \lim_{\substack{m \to 0 \\ M \to +\infty}}\int_{bm}^{bM}\frac{f(t)}{t}\mathrm{d}t \\ &= \lim_{\substack{m \to 0 \\ M \to +\infty}}\int_{am}^{bm}\frac{f(t)}{t}\mathrm{d}t + \lim_{\substack{m \to 0 \\ M \to +\infty}}\int_{bm}^{aM}\frac{f(t)}{t}\mathrm{d}t - \lim_{\substack{m \to 0 \\ M \to +\infty}}\int_{bm}^{aM}\frac{f(t)}{t}\mathrm{d}t \\ &\, -\lim_{\substack{m \to 0 \\ M \to +\infty}}\int_{aM}^{bM}\frac{f(t)}{t}\mathrm{d}t \\ &=\lim_{\substack{m \to 0 \\ M \to +\infty}}\int_{am}^{bm}\frac{f(t)}{t}\mathrm{d}t -\lim_{\substack{m \to 0 \\ M \to +\infty}}\int_{aM}^{bM}\frac{f(t)}{t}\mathrm{d}t \\ &= \lim_{\substack{m \to 0 \\ M \to +\infty}}f(\xi_{1})\int_{am}^{bm}\frac{1}{t}\mathrm{d}t - \lim_{\substack{m \to 0 \\ M \to +\infty}}f(\xi_{2})\int_{aM}^{bM}\frac{1}{t}\mathrm{d}t \\ &= \left[f(0)-k\right]\ln\frac{b}{a} \end{aligned}$$

其他证明可见维基百科(需要用到积分换序)

问题解决

$$\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-t}-e^{-3t}}{t} \cdot e^{-st}\mathrm{d}t = (1-0)\ln\frac{s+3}{s+1} = \ln\frac{s+3}{s+1}$$