费曼积分

定理

$$\text{若} f(a, x) , \, \frac{\partial}{\partial a}f(a, x) \text{在定义域上连续，则有}$$

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a} \int f(a, x) \mathrm{d}x = \int \frac{\partial}{\partial a}f(a, x) \mathrm{d}x$$

费曼积分法

利用上述定理，可以通过添加参数的方法来求一些积分。一般是将被积函数 $f(x)$ 改造成 $f(a, x)$，得到一个新的含参积分 $I(a)$，其中 $a$ 取某一特定值时含参积分退化成原积分。之后对$a$求偏导，通过分部积分等方法确定 $I'(a)$，再积分并代入初始条件得到 $I(a)$.

典型例题

$$1.\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x$$

$$2.\int_{0}^{1}\frac{x^2-1}{\ln{x}}\mathrm{d}x$$

$$3.\int_{0}^{1} \frac{\ln(x+1)}{x^2+1}\mathrm{d}x$$

参考资料

1.https://www.spaces.ac.cn/archives/1615
2.https://zhuanlan.zhihu.com/p/672288407